Courbe

En mathématiques, une courbe (également appelée ligne courbe dans les textes plus anciens) est, de manière générale, un objet similaire à une ligne mais qui n’a pas besoin d’être droit. Ainsi, une courbe est une généralisation d’une ligne, en ce sens qu’elle peut être courbe.

Intuitivement, une courbe peut être considérée comme la trace laissée par un point en mouvement. C’est la définition qui est apparue, il y a plus de 2000 ans, dans les Éléments d’Euclide : « La ligne [courbe][a] est […] la première espèce de quantité, qui n’a qu’une dimension, à savoir la longueur, sans aucune largeur ni profondeur, et n’est rien d’autre que le flux ou la course de la pointe qui […] laissera de son imaginaire mouvant quelque vestige en longueur, exempt de toute largeur."[1]

Cette définition d’une courbe a été formalisée dans les mathématiques modernes comme : Une courbe est l’image d’une fonction continue d’un intervalle à un espace topologique. Dans certains contextes, la fonction qui définit la courbe est appelée une paramétrisation, et la courbe est une courbe paramétrique. Dans cet article, ces courbes sont parfois appelées courbes topologiques pour les distinguer des courbes plus contraintes telles que les courbes différentiables. Cette définition englobe la plupart des courbes étudiées en mathématiques ; les exceptions notables sont les courbes de niveau (qui sont des unions de courbes et de points isolés) et les courbes algébriques (voir ci-dessous). Les courbes de niveau et les courbes algébriques sont parfois appelées courbes implicites, car elles sont généralement définies par des équations implicites.

Néanmoins, la classe des courbes topologiques est très large et contient des courbes qui ne ressemblent pas à ce qu’on pourrait attendre d’une courbe, ou même ne peuvent pas être dessinées. C’est le cas des courbes de remplissage d’espace et des courbes fractales. Pour assurer plus de régularité, la fonction qui définit une courbe est souvent supposée différentiable, et la courbe est alors dite courbe différentiable.

Équation

Une courbe algébrique plane est l’ensemble zéro d’un polynôme à deux indéterminés. Plus généralement, une courbe algébrique est l’ensemble zéro d’un ensemble fini de polynômes, qui satisfait la condition supplémentaire d’être une variété algébrique de dimension un. Si les coefficients des polynômes appartiennent à un corps k, la courbe est dite définie sur k. Dans le cas courant d’une courbe algébrique réelle, où k est le corps des nombres réels, une courbe algébrique est une union finie de courbes topologiques. Lorsque l’on considère des zéros complexes, on a une courbe algébrique complexe, qui, du point de vue topologique, n’est pas une courbe, mais une surface, et est souvent appelée surface de Riemann. Bien que n’étant pas des courbes au sens commun, les courbes algébriques définies sur d’autres domaines ont été largement étudiées. En particulier, les courbes algébriques sur un corps fini sont largement utilisées en cryptographie moderne.

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